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Lunascape　不具合掲示板

FC2のフォーラムを確認しましたが、Firefoxのバージョンアップでも発生しているようです。

推測に過ぎませんが、FC2のシステムがブラウザのUserAgentを見ていて、UserAgentが変更されるとCookieがあってもセッションを継続しないようなシステムになっているのかもしれません。
※LunascapeのUserAgentはバージョン番号が入っています

LunascapeをバージョンアップするとFC2ブログで



※セッション保存時間が切れました。再度ログインしてください。#1

と図のように出てしまう場合、

一度ログインして、「ログアウト」、さらにFC2IDの画面に飛んだらそこも「ログアウト」。

この操作で、ブラウザのUserAgentが変わっても、セッションを維持できるようになるようです。

ログインIDを、「FC2ID」のメールアドレス形式とした場合のみこの方法でうまく行きました。（ブログアカウントをIDにした場合はセッションを維持してくれないままになりました）

他の原因が含まれている場合はこれだけでは解決しないのかもしれませんが簡単に試す事のできる方法なので、手がかりにはなると思います。

参考情報
FC2ブログサポート掲示板